3 Pendekatan polar cukup baik digunakan untuk menghitung persoalan potensial listrik sistem koordinat kartesian. 5.2 Saran Saran untuk penelitian selanjutnya adalah sebagai berikut: 1. Perlu diteliti tingkat keakuratan untuk jumlah titik data yang lebih banyak. 2. Perlu dicoba untuk sistem koordinat yang lain. 3. Perlu diteliti pengaruh
numerisdan memori pengaksesan data acak (RAM) 15.Pemetaan Digital (Digital Mapping) 439 - Sistem koordinat tema yang berhubungan untuk Sistem koordinat grafis pada CAD jaringan irigasi atau tema lain untuk aplikasi digital dapat dilakukan yang memberikan andil dalam secara absolute, relatife, atau polar.Sistem Koordinat Polar Sebuah sistem koordinar menyatakan suatu titik pada bidang dengan sepasang bilangan terurut yang disebut koordinat. Seperti yang telah kita ketahui, koordinat Cartesius diperkenalkan oleh Descartes yang merupakan jarak berarah dari dua sumbu yang saling tegak lurus. Pada pembahasan kali ini saya akan merangkum materi tentang suatu sistem koordinat yang disebut yang disebut sistem koordinat polar atau sistem koordinat kutub. Sistem ini diperkenalkan oleh Newton, dan lebih mudah digunakan pada banyak kasus. Pada sistem koordinat polar ini, kita memilih sebuah titik pada bidang yang disebut dengan titik kutub atau titik asal. Setelah itu, buat suatu garis yang berawal dari titik asal tersebut yang disebut sumbu polar atau sumbu kutub. Sumbu ini biasanya digambar secara horizontal ke kanan dan berimpit dengan sumbu x pada koordinat Cartesius. Misalkan P adalah suatu titik pada bidang. Jika r adalah jarak dari O titik asal ke P , dan $theta$ adalah sudut biasanya diukur dalam radian antara sumbu polar dan garis OP, maka pasangan berurut r,$theta$ disebut koordinat polar dari titik P. Kita sepakati bahwa sudut adalah positif jika diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu polar dan negatif jika diukur searah jatum jam. Koordinat 0,$theta$ menyatakan titik kutub atau titik asal, untuk sembarang nilai $theta$. Titik -r,$theta$ dan r,$theta$ terletak pada garis yang sama melalui O dan berjarak sama yaitu r dari O. Jika r > 0, titik r,$theta$ terletak di kuadran yang sama dengan $theta$. Dalam koordinat Cartesius, setiao titik hanya memiliki satu penyajian. Dalam sistem koordinat polar, masing-masing titik mempunyai banyak penyajian. Titik r,$theta$ dapat juga dinyatakan dengan $r,theta +2npi $ atau $-r,theta +2n+1pi $ dengan n adalah bilangan bulat sembarang. Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat Cartesius dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika titik P mempunyai koordinat polar r,$theta$ dan koordinat Cartesius x,y, maka dengan bantuan gambar dapat dilihat hubungan berikut ini $cos theta =frac{x}{r}$ dan $sin theta =frac{y}{r}$ Sehingga, jika kita mengetahui bahwa suatu titk P mempunyai koordinat polar r,$ theta$, maka koordinat Cartesiusnya adalah x,y, dengan x dan y diberikan oleh $x=rcostheta$ dan $y=rsin theta$ Sebaliknya, jika kita tahu bahwa suatu titk P mempunyai koordinat Cartesius x,y, maka koordinat polarnya adalah r,$theta$, dimana r dan $theta$ memenuhi hubungan berikutr²=x²+y² dan $tan theta =frac{y}{x}$ Dalam sistem koordinat polar, suatu kurva umumnya dinyatakan dalam bentuk r = f$theta$, untuk suatu fungsi f. Koordinat Polar dalam Kalkulus Garis Singgung Untuk menentukan garis singgung pada kurva polar r = f$theta$, kita anggap $theta$ sebagai parameter dan menulis persamaan parametriknya sebagai $x=rcos theta =ftheta cos theta$ $y=rsin theta =ftheta sin theta$ Dengan metode penentuan kemiringan garis singgung m pada kurva parametrik kita akan peroleh $m=frac{mathrm{d} y}{mathrm{d} x}=frac{dy/dtheta}{dx/dtheta}=frac{f'theta sin theta +ftheta cos theta }{f'theta cos theta +ftheta sin theta}$ Kurva mempunyai garis singgung horizontal di titik dengan dy/d$theta$ = 0, asalkan dx/d$theta$ 0. Kurva mempunyai garis singgung vertikal di titik dengan dx/d$theta$ = 0, asalkan dy/d$theta$ 0. Luas Untuk menurunkan rumus luas daerah yang dibatasi kurva dalam persamaan polar, kita perlu menggunakan rumus luas sektor/juring dari suatu lingkaran dengan jari-jari r, yaitu $L=frac{1}{2}r^2theta$ dengan $theta$ adalah sudut pusat yang diukur dalam radian. Rumus ini didapat dari fakta bahwa luas sektor/juring lingkaran adlah sebanding dengan sudut pusatnya. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva polar r = f$theta$ dan oleh dua garis $0leq b-aleq 2pi$ = a dan $theta$ = b, dimana f adalah kontinu dan tak negatif serta $0leq b-aleq 2pi$. Kita membagi selang [a,b] menjadi n anak selang yang sama panjang, dengan titik-titik ujung $theta _{0},theta _{1},…,theta _{n}$, dan panjang masing-masing anak selang adalah $bigtriangleup theta$. Dengan demikian, daerah D juga terbagi menjadi n daerah bagian, yang masing-masing memiliki sudut pusat $bigtriangleup theta$. Kita pilih $theta ^*_{i}in [theta _{i-1},theta _{i}]$. Jika $bigtriangleup L_{i}$ menyatakan luas daerah bagian ke-i, maka daerah ini dapat dihampiri dengan luas juring lingkaran dengan jari-jari $ftheta _{i}^*$ dan sudut pusat $bigtriangleup theta$, yaitu $bigtriangleup Lapprox frac{1}{2}ftheta ^*_{i}^2bigtriangleup theta$ Sehingga hampiran untuk total luas daerah D adalah $Lapprox sum_{i=1}^{n}frac{1}{2}ftheta ^*_{i}^2bigtriangleup theta$ Perhatikan bahwa jumlah di atas adalah sebuah jumlah Riemann dan nilai hampiran akan semakin mendekati luas Daerah D jika n menuju takhingga. Akhirnya, kita peroleh rumus untuk menentukan luas daerah D sebagai berikut. $L=int_{a}^{b}ftheta ^2dtheta =int_{a}^{b}frac{1}{2}r^2dtheta$ Panjang Kurva Kita ingin menentukan panjang kurva dari suatu persamaan polar r = f$theta$ untuk $aleq theta leq b$. Dengan mengasumsikan bahwa f kontinu pada selang $[aleq theta leq b]$, kita dapat menggunakan teorema panjang kurva untuk menentukan panjang kurva tersebut, yaitu $P=int_{a}^{b}sqrt{begin{pmatrix} frac{dx}{dtheta } end{pmatrix}^2+begin{pmatrix} frac{dy}{dtheta } end{pmatrix}^2}dtheta$ Karena $x=rcos theta$ dan $y=rsin theta$, maka panjang kurva dari suatu persamaan polar r = f$theta$ untuk $aleq theta leq b$ dapat ditentukan sebagai berikut $P=int_{a}^{b}sqrt{r^2+begin{pmatrix} frac{dr}{dtheta } end{pmatrix}^2}dtheta$ Demikian rangkuam materi tentang Koordinat Polar Semoga bermanfaatVORadalah Sebuah alat bantu NAVIGASI udara yang berfungsi untuk menentukan sudut pesawat terhadap peralatan VOR tersebut. jadi bila VOR dipasang dekat dengan RUN WAY (bandara) maka pesawat (pilot) dapat mengetahui keberadaannya bahwa dia berada pada sudut "sekian" dari Runway (bandara) Range frekuensi VOR seingat sy adlh : 108.0 sampai 117.95 MHz, jadi VOR bekerja pada frekuensi VHF
October 07, 2019 Sistem Koordinat Pada Autocad - Koordinat adalah suatu titik hasil dari perpotongan antara garis lintang dan garis bujur yang menunjukkan suatu objek. Dengan kata lain, koordinat merupakan bilangan yang dipakai untuk menentukan lokasi suatu titik dalam garis, permukaan atau koordinat pada AutoCAD digunakan untuk menentukan sebuah titik atau membuat garis. Pada sistem koordinat AutoCAD, sumbu X berlaku sebagai garis horizontal garis mendatar dan sumbu Y sebagai garis vertikal garis tegak. Sistem koordinat pada AutoCAD yang digunakan pada proses penggambaran terdapat 3 jenis, yaitu Sistem koordinat absolut / kartesius, sistem koordinat polar dan sistem koordinat relatif. Sistem Koordinat AutoCADSistem Koordinat Absolut/Kartesius Sistem koordinat Absolut digunakan untuk menempatkan suatu objek sebuah titik pada objek yang diperhitungkan terhadap titik original/awal 0,0 sistem koordinat. Sistem koordinat absolut digunakan dengan menentukan jarak X dan Y terhadap titik awal titik original. Format/rumus yang digunakan adalah X,Y. Contoh 30,50 yang artinya bahwa titik tersebut diletakan atau berada sejauh 30 satuan arah sumbu X dan 50 satuan arah sumbu Y dari titik perpotongan sumbu koordinat titik original.Pada sistem koordinat absolut, sumbu yang ditarik dari titik original/awal ke arah kanan adalah sumbu X positif, sumbu yang ditarik dari titik original/awal ke arah kiri adalah sumbu X negatif, sumbu yang ditarik dari titik original/awal ke arah atas adalah sumbu Y positif dan sumbu yang ditarik dari titik original/awal ke arah bawah adalah sumbu Y negatif. Sistem Koordinat PolarSistem koordinat polar digunakan untuk menempatkan suatu objek/titik dengan cara menentukan panjang dan besar sudut dari titik awal arah/kemiringan selalu diperhitungkan terhadap sumbu X positif. Format penulisan yang digunakan adalah panjang garisFormatpenulisan sistem koordinat polar adalah: @panjang
11 Sistem Koordinat Polar Pada kuliah sebelumnya, kita selalu menggunakan sistem koordinat Kartesius untuk menggambarkan lintasan partikel yang bergerak. Koordinat Kartesius mudah digunakan saat menggambarkan gerak linear partikel, na-mun sedikit merepotkan saat digunakan untuk meninjau gerak melingkar1. Posisi suatu titik misal P dalam koordinat polar dinyatakan oleh notasi r, θ, dengan r menyatakan jarak partikel dari suatu titik acuan titik asal/origin, misal disebut O dan θ menyatakan sudut antara suatu sumbu acuan yang melalui O dan garis yang menghubungkan O dengan P . Vektor satuan untuk koordinat polar kita simbolkan dengan {ˆr, ˆθ}. Gambaran untuk r, θ, ˆr, dan ˆθ diberikan oleh gambar berikut gambar kiri. ^ r ^θ P x y Gambar 1 Kiri besaran-besaran dalam koordinat polar. Kanan uraian vektor-vektor satuan koordinat polar ke komponen-komponennya warna hijau. Vektor posisi titik P dinyatakan dengan simbol ~r dan digambarkan dengan panah warna biru. Panjang vektor tersebut adalah r. Sudut θ adalah sudut yang dibentuk oleh vektor r terhadap sumbu-x positif. Hal yang menarik dari koordinat polar adalah arah vektor-vektor satuan ˆr dan ˆθ selalu berubah mengikuti posisi titik P. Arah vektor ˆ r sama dengan vektor ~r, sedangkan arah ˆθ tegaklurus ˆr dan searah dengan arah ’bukaan’2 sudut θ. Posisi dari titik P, dapat dinyatakan sebagai ~rP = ~r = rˆr. 1 Hubungan antara koordinat polar dan Kartesius dapat diperoleh dengan menerapkan trigonometri untuk sudut θ. Hasilnya, xP = r cos θ dan yP = r sin θ. 2 Vektor-vektor satuan ˆr dan ˆθ juga dapat diuraikan dalam vektor-vektor satuan koordinat Kartesius ˆi dan ˆj sebagai berikut perhatikan gambar kanan dan ingat ˆr = 1, ˆ r = cos θ ˆi + sin θ ˆj dan θ = − sin θ ˆi + cos θ ˆˆ j. 3 Latihan buktikan dˆdθr = ˆθ dan dˆdθθ = −ˆr. 2 Posisi, kecepatan, dan percepatan gerak melingkar Anggaplah suatu partikel yang mula-mula berada di titik P lalu bergerak melingkar mengikuti lintasan berwarna ungu pada gambar 2. Posisi partikel tersebut akan berubah terhadap waktu. Jika jari-jari lintasan partikel selalu tetap, maka besaran yang berubah dari posisi partikel adalah tersebut adalah θ, sedangkan r nilainya tetap. Karena vektor-vektor satuan bergantung pada θ lihat persamaan 3, maka selama partikel bergerak arah vektor-vektor satuan ˆr dan ˆθ selalu berubah, atau merupakan fungsi dari waktu t. 1Walaupun tentu saja, kejadian fisis yang terjadi tidak bergantung sistem koordinat. Benda yang yang bergerak melingkar tetap akan bergerak melingkar, baik dilihat melalui sistem koordinat polar maupun Kartesius 2ini bukan istilah standar 2 ⃗ r ⃗v x y P O Gambar 2 Partikel bergerak melingkar mengikuti lintasan berbentuk lingkaran. Sesuai persamaan 1, posisi partikel adalah ~rt = rˆrt. 4 Kecepatan partikel adalah turunan pertama dari posisi terhadap waktu, sehingga diperoleh ~vt ≡ d~rt dt = dr dt {z} 0 ˆ rt + rdˆrt dt = r dˆrt dθ {z } ˆ θ dθ dt {z} = r ˆθ, 5 dengan ≡ dθdt disebut kecepatan sudut. Karena arah ˆθ tegaklurus ˆr, dan ˆr searah dengan jari-jari lingkaran, maka arah ˆθ sejajar dengan garis singgung lingkaran ungu. Dengan demikian, kecepatan ~v merupakan kecepatan tangensial partikel. Jika nilai kecepatan sudut konstan, maka nilai dari laju tangensial juga konstan. Untuk menentukan percepatan, kita turukan kembali kecepatan ~vt terhadap t, diperoleh ~a ≡ d~vt dt = dr dt ˆθ + r d dt {z} α ˆ θ + r dˆθ dθ {z} −ˆr dθ dt {z} = rαˆθ − r2r,ˆ 6 dengan α ≡ ddt disebut percepatan sudut. Suku pertama dari percepatan tersebut yaitu rα disebut sebagai percepatan tangensial, karena arahnya searah dengan ˆθ, dan nilainya bergantung pada percepatan sudut. Jika partikel bergerak dengan kecepatan sudut konstan, maka diperoleh ~a = −r2ˆr = −vr2r ingat persamaan 5.ˆ Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, yang arahnya menuju pusat lintasan partikel. Nilai percepatan sentripetal bergantung hanya pada dan tentu saja r, sehingga partikel yang bergerak melingkar selalu memiliki percepatan jenis ini. Sehingga, kita dapat katakan percepatan sentripetal sebagai percepatan yang menyebabkan suatu benda bergerak melingkar. Jika suatu partikel memiliki kedua komponen percepatan tangensial dan sentripetal, maka besar percepatan partikel tersebut adalah a = q a2 tangensial+ a2sentripetal 7 3 Kinematika gerak melingkar Secara umum, persamaan kinematika untuk gerak melingkar memiliki bentuk yang serupa dengan pada gerak linear. Kita dapat menuliskan, θ = θ0+ 0t + 1 2αt 2, 8 3d x y O ds r Q P Gambar 3 Hubungan antara besaran-besaran sudut dengan linear pada gerak melingkar. Mula-mula partikel berada pada titik P dan sesaat kemudian berpindah ke Q. Panjang lintasan yang ditempuh oleh partikel adalah ds dan sudut yang dibentuk oleh vektor posisi kedua titik tersebut adalah dθ. mula saat t = t0 partikel berada pada titik P , dan sesaat kemudian t = t0 + dt partikel berpindah ke titik Q. Panjang lintasan yang ditempuh oleh partikel adalah ds dan sudut yang dibentuk oleh vektor posisi pada kedua saat tersebut adalah dθ. Untuk selang waktu dt yang sangat singkat OP Q dapat dianggap sebagai segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di titik P . Dari hubungan trigonometri, diperoleh tandθ = ds/r. Karena sudut dθ sangat kecil, berlaku tandθ ≈ dθ, sehingga diperoleh dθ = ds/r, atau ds = rdθ. 10 Kecepatan dan percepatan diperoleh dengan menurunkan jarak tersebut terhadap waktu, v ≡ ds dt = r dθ dt = r 11 a ≡ dv dt = r d dt = rα. 12 Sekali lagi, kita peroleh hasil yang sama dengan pada persamaan 5 dan 6. Namun, perlu diingat bahwa ds adalah perpindahan partikel pada arah tangensial menyinggung lingkaran, sehingga turunan-turunannya juga merupakan besaran tangensial kecepatan tangensial dan percepatan tangensial. Terlihat bahwa nilai percepat-an tpercepat-angensial bergpercepat-antung pada α ≡ ddt. Sehingga untuk gerak melingkar dengan kecepatan sudut konstan, percepatan tangensial bernilai nol di seluruh bagian lintasan baik di titik P, Q, maupun lainnya. Untuk gerak dengan kecepatan sudut konstan, besar dari laju tangensial juga konstan, namun arahnya selalu berubah yaitu selalu menyinggung lingkaran. Pada besaran vektor, perubahan vektor dapat terjadi karena berubahnya besar, arah, maupun keduanya. Karena kecepatan tangensial selalu mengalami perubahan arah, maka dikatakan bahwa kecepatan tangensial selalu mengalami perubahan. Sebelumnya, telah kita ketahui bahwa perubahan kecepatan tiap satuan waktu disebut sebagai percepatan. Sehingga, kita simpulkan bahwa benda yang bergerak melingkar dengan kecepatan sudut konstan juga mengalami percepatan, dan percepatan tersebut haruslah selain percepatan tangensial. Mari kita namai percepatan tersebut yang mengubah arah kecepatan tangensial benda yang bergerak melingkar sebagai percepatan sentripetal. Untuk mendapatkan percepatan sentripetal, kita perlu meninjau perubahan kecepatan tangensial saat di titik Q bila dibandingkan dengan saat di titik P. Untuk keperluan ini, mula-mula kita tinjau gerak melingkar dengan laju konstan dan menggambarkan vektor kecepatan di kedua titik seperti pada gambar 4 gambar kiri. Selisih kedua vektor kecepatan dituliskan sebagai ~v = ~vQ− ~vP gambar kanan. Terlihat bahwa segitiga yang dibentuk oleh vektor-vektor posisi yaitu ~rP, ~rQ, dan ~r dan vektor-vektor kecepatan ~vP, ~vQ, dan ~v kongruen. Perbandingan sisi-sisi kedua segitiga memberikan r r = v v atau v = v rr. 13 4Sehingga kita dapat menentukan percepatan, a ≡ v t = v r r t {z} v = v 2 r . 14 Arah dari percepatan sentripetal ditentukan oleh arah vektor ~v. Dari gambar, terlihat bahwa arah ~v adalah menuju pusat putaran. Telah kita dapatkan besar dan arah percepatan sentripetal seperti pada bagian sebelumnya. Dq x y O P ⃗ rP ⃗ rQ Q P ⃗ rP ⃗ rQ Q ⃗ vQ Δ ⃗v Δ θ Δ θ Gambar 4 Kiri gambaran vektor-vektor posisi dan kecepatan benda saat berada pada titik P dan Q. Kanan jika titik P dan Q dibuat berhimpit, maka segitiga yang dibentuk oleh vektor-vektor posisi dan perubahannya ~rP, ~rQ, ~r serta vektor-vektor kecepatan dan perubahannya ~vP, ~vQ, ~v adalah dua segitiga yang kongruen. Perhatikan pula bahwa arah ~v berkebalikan dengan ~rP. 4 Gaya Sentripetal Secara sederhana, gaya sentripetal adalah gaya-gaya yang menghasilkan percepatan sentripetal. Dengan demiki-an, gaya sentripetal adalah jumlah semua komponen gaya yang bekerja pada benda dan arahnya menuju pusat putaran. Contoh yang cukup sederhana, ketika sebuah benda diikat oleh tali kemudian diputar hingga membentuk lintasan lingkaran pada bidang horizontal, tegangan tali yang arahnya menuju pusat putaran berperan sebagai gaya sentripetal. Sehingga pada arah radial berlaku X F = masentripetal⇔ T = mv2/r. 15 T Gambar 5 Benda diikat tali dan berputar dalam lintasan lingkaran yang berada pada bidang horizontal. Anak panah merah menunjukkan arah putaran benda. 5mg ke bawah menuju pusat putaran, maka saat itu gaya sentripetal yang bekerja pada benda adalah jumlahan kedua gaya tersebut. Sehingga pada arah radial berlaku, X F = masentripetal⇔ T + mg = mv2/r 16 Kemudian ketika benda berada di titik terendahnya, arah tegangan tali adalah ke atas menuju pusat putaran dan gaya berat ke bawah menjauhi titik pusat putaran, sehingga gaya sentripetal yang dialami benda adalah T − mg, X F = masentripetal⇔ T − mg = mv2/r 17 T mg T mg Gambar 6 Benda diikat tali dan berputar dalam lintasan lingkaran yang berada pada bidang vertikal. Gambar kiri menunjukkan diagram benda bebas saat benda berada di titik tertinggi lintasan, sedangkan kanan saat benda berada pada titik terendahnya. Anak panah merah menunjukkan arah putaran benda.
Dalammatematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut. Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda
. 418308160452499344248279
format yang digunakan untuk sistem koordinat polar adalah
